Пусть в кубе Q = (0, 1)^n евклидова пространства задана конечная положительная мера μ. Для одной из граней S куба Q в пространстве Соболева Wmp(Q), где mp > n, рассмотрим подпространство Z, состоящее из функций с нулевым полным следом на ∂Q \ S. Исследуется вопрос о существовании нелинейного оператора T , который ограничен в Z, сохраняет полный след функций на S и является сжимающим в пространстве L2,μ(Q). Приводится связь этого условия с теорией интерполяции банаховых пространств, индефинитными спектральными задачами и нелинейными дифференциальными уравнениями. Доказываются достаточные и необходимое условия существования T в терминах n, m, p и μ. При n = 1 получен критерий существования T в терминах μ. В доказательстве некоторых результатов используется полиномиальная аппроксимация функций с малой соболевской нормой.
Let μ be a finite positive measure defined in the cube Q = (0, 1)^n of Euclidean space. Let S be one of the faces of Q. For mp>n, we consider the subspace Z of the Sobolev space Wmp(Q) comprising the functions with the zero total trace on ∂Q\S. We investigate whether there exists a nonlinear operator T which is bounded in Z, preserves the total trace on S, and is contracting in the space L2,μ(Q). Connections of this condition with the interpolation theory of Banach spaces, indefinite spectral problems, and nonlinear differential equations are presented. We prove some sufficient conditions (in terms of n, m, p, and μ) and the one necessary for the existence of T. A criterion (in terms of μ) for the existence of T is obtained when n = 1. The proof of some of the results employs polynomial approximation of functions with the small Sobolev norm.
