The application of the theory of limits in classical differential and integral calculus is described. It continues the author’s series of articles «Elements of the theory of limits» and is closely related to the last article «Elements of the theory of limits (directivity)». The series is intended for beginners studying mathematical analysis. The non-standard delivery of material and a number of detailed examples are illustrated to cause teachers’ interest. The derivative and differential are defined, their main properties and calculation rules are given in brief. The main focus is on analytical functions. Taylor's formula is proved. Antiderivatives and Newton integral are defined, their basic properties and calculation rules are presented. The theorem of term by term integration is proved for analytical functions. Classical Poisson’s integral and methods of its calculation are specified.
Описывается применение теории пределов в классическом дифференциальном и интегральном исчислении. Она продолжает серию статей автора под общим названием «Элементы теории пределов» и непосредственно примыкает к последней статье «Элементы теории пределов (направленности)». Серия рассчитана на начинающих изучать математический анализ. Нестандартное изложение материала и большое количество подробно разобранных примеров могут представлять интерес для преподавателей. В первой части статьи определяются производная и дифференциал, кратко описываются их основные свойства и правила вычисления. Главным объектом служат аналитические функции, подробно рассматривавшиеся раньше. Для них доказывается формула Тейлора. Во второй части определяются первообразные и интеграл Ньютона, кратко описываются их основные свойства и правила вычисления. Главным объектом снова служат аналитические функции. Для них доказывается теорема о почленном интегрировании. В заключение в качестве примера подробно описываются классический интеграл Пуассона и методы его вычисления.
